ODWROTNOSC

ODWROTNOSC to funkcja arkusza kalkulacyjnego zwracająca macierz odwrotną do podanej.

ODWROTNOSC w arkuszu kalkulacyjnym: czym jest funkcja macierzy odwrotnej

ODWROTNOSC służy do wyznaczania macierzy odwrotnej względem macierzy podanej w arkuszu kalkulacyjnym. Wynik nie jest pojedynczą liczbą, lecz układem wartości, który można traktować jako matematyczne „odwrócenie” działania wykonywanego przez macierz wyjściową. Jeżeli macierz A opisuje pewne przekształcenie liczb, a macierz odwrotna oznaczana jest jako A⁻¹, to ich iloczyn powinien dawać macierz jednostkową. Macierz jednostkowa ma jedynki na głównej przekątnej oraz zera poza nią.

W praktyce funkcja ODWROTNOSC jest używana wtedy, gdy dane zostały zapisane w postaci tabeli i trzeba odzyskać wartości wejściowe na podstawie zależności liniowych. Dotyczy to między innymi rozwiązywania układów równań, analizy modeli obliczeniowych, przeliczania współczynników oraz sprawdzania zależności pomiędzy kilkoma zmiennymi. W arkuszu nie wystarczy zaznaczyć dowolnego prostokątnego zakresu. Zakres musi przedstawiać macierz kwadratową, czyli mieć tyle samo wierszy co kolumn.

W zależności od programu i jego wersji wynik może być wprowadzany jako formuła tablicowa albo jako formuła rozlewająca się na sąsiednie komórki. Z tego powodu warto zwrócić uwagę na sposób działania używanego arkusza. Sama nazwa funkcji może również różnić się w lokalnej wersji programu, dlatego przy przenoszeniu dokumentu pomiędzy aplikacjami należy sprawdzić zgodność nazw funkcji, separatorów argumentów i mechanizmu obsługi tablic.

ODWROTNOSC a macierz osobliwa, wyznacznik i rozwiązania równań

Nie każda macierz ma macierz odwrotną. Warunkiem istnienia odwrotności jest niezerowy wyznacznik. Jeśli wyznacznik wynosi zero, macierz jest osobliwa i nie można jednoznacznie wykonać operacji odwrócenia. Taki przypadek może pojawić się wtedy, gdy jeden wiersz jest wielokrotnością innego wiersza, gdy kolumny zawierają powtarzające się informacje albo gdy poszczególne zależności są liniowo zależne.

W arkuszu problem może zostać pokazany jako błąd formuły, brak wyniku lub komunikat dotyczący argumentów. Nie należy wtedy od razu zakładać, że funkcja została wpisana niepoprawnie. Najpierw trzeba sprawdzić strukturę danych. Pomocne jest obliczenie wyznacznika osobno i przeanalizowanie, czy wartości nie są bardzo bliskie zera. W obliczeniach wykonywanych na liczbach zmiennoprzecinkowych wyznacznik może mieć małą wartość wynikającą z zaokrągleń, nawet gdy teoretycznie powinien być równy zero.

Macierz odwrotna może być używana do rozwiązania układu równań zapisanego w postaci A·x=b. W takim ujęciu wektor niewiadomych można otrzymać przez pomnożenie macierzy odwrotnej przez wektor wyników: x=A⁻¹·b. W niewielkich zestawach danych takie podejście jest przejrzyste i wygodne do kontroli. Przy większych zakresach warto jednak porównać wynik z metodą eliminacji lub z dedykowanymi narzędziami numerycznymi, ponieważ jawne odwracanie macierzy może wzmacniać wpływ błędów zaokrągleń.

• Macierz wejściowa powinna być kwadratowa.
• Wiersze i kolumny powinny zawierać dane liczbowe.
• Wyznacznik równy zero oznacza brak klasycznej macierzy odwrotnej.
• Wynik należy sprawdzić przez mnożenie macierzy wejściowej i otrzymanej odwrotności.

ODWROTNOSC w praktyce: typowe problemy z zakresem i formułą

Jednym z częstych problemów jest zaznaczenie zakresu zawierającego nagłówki, puste komórki albo dodatkowe opisy. Funkcja interpretuje argument jako macierz, dlatego elementy tekstowe lub nieplanowane wartości mogą spowodować błąd albo doprowadzić do wyniku, który nie odpowiada założeniom modelu. Przed użyciem ODWROTNOSC dobrze jest oddzielić dane od opisów i upewnić się, że wszystkie wiersze mają ten sam układ.

Inna trudność pojawia się przy kopiowaniu formuły. Odwołanie do macierzy powinno zwykle pozostać stałe, aby po przeniesieniu formuły arkusz nie zmienił zakresu wejściowego. W tym celu stosuje się odwołania bezwzględne, zależnie od składni wybranego programu. Przy wyniku obejmującym wiele komórek trzeba także zostawić wolne miejsce na cały rezultat. Jeżeli w obszarze docelowym znajdują się inne dane, formuła tablicowa może nie zostać rozwinięta.

Warto rozróżnić błąd matematyczny od błędu technicznego. Błąd matematyczny wynika na przykład z osobliwości macierzy. Błąd techniczny może być skutkiem niepoprawnego separatora, niewłaściwego zakresu, tekstu zapisanego jako liczba lub niezgodności funkcji pomiędzy wersjami arkusza. Przy pracy z plikiem otrzymanym od innej osoby pomocne jest sprawdzenie formatów komórek, ukrytych wierszy, nazw zakresów oraz ustawień obliczeń automatycznych.

Nie należy zaokrąglać macierzy wejściowej przed wykonaniem obliczenia bez uzasadnienia. Usunięcie kilku miejsc po przecinku może zmienić wyznacznik i sprawić, że macierz stanie się źle uwarunkowana. Zaokrąglenie można zastosować dopiero podczas prezentowania rezultatu, pozostawiając dokładniejsze wartości w komórkach roboczych.

ODWROTNOSC i kontrola wyniku: jak sprawdzić poprawność obliczeń

Najprostszą kontrolą jest przemnożenie macierzy początkowej przez wynik funkcji ODWROTNOSC. Rezultat powinien być zbliżony do macierzy jednostkowej. Na głównej przekątnej powinny pojawić się wartości bliskie jedynki, a poza przekątną wartości bliskie zeru. Sformułowanie „bliskie” ma znaczenie, ponieważ arkusz wykonuje obliczenia numeryczne i może zwrócić bardzo małe odchylenia, na przykład wynikające z reprezentacji liczb w pamięci.

Przy kontroli można obliczyć największą wartość bezwzględną różnicy pomiędzy macierzą kontrolną a macierzą jednostkową. Niewielki błąd wskazuje, że operacja jest spójna w granicach dokładności obliczeń. Duża różnica może oznaczać niewłaściwy zakres, zamienione wiersze, błędne dane albo problemy z uwarunkowaniem macierzy. Dobrą praktyką jest także wykonanie kontroli w obu kierunkach: A·A⁻¹ oraz A⁻¹·A.

Przykładowy model może zawierać tabelę opisującą trzy zależności pomiędzy trzema niewiadomymi. Jeżeli współczynniki zostaną wpisane do zakresu trzy na trzy, funkcja zwróci zakres o takim samym rozmiarze. Ten wynik można następnie połączyć z kolumną wartości prawych stron za pomocą mnożenia macierzy. Przed interpretacją rezultatu należy sprawdzić, czy kolejność zmiennych w tabeli współczynników odpowiada kolejności zmiennych w opisie problemu.

Do dokumentu warto dodać krótką notatkę określającą źródło macierzy, znaczenie wierszy i kolumn oraz sposób zaokrąglania wartości. Ułatwia to późniejsze odtworzenie obliczeń i ogranicza ryzyko przypadkowej zmiany zakresu. W modelach używanych cyklicznie warto oddzielić dane wejściowe, obliczenia pomocnicze i wynik końcowy, zamiast umieszczać wszystkie elementy w jednym nieopisanym obszarze.

ODWROTNOSC a zgłoszenie problemu z arkuszem do serwisu

Do serwisu warto zgłosić się wtedy, gdy arkusz zamyka się podczas obliczeń, nie reaguje na formuły tablicowe, wyświetla niespójne komunikaty albo nieprawidłowo otwiera pliki zawierające rozbudowane modele. Pomocne będzie zachowanie kopii pliku źródłowego oraz opisanie, po której operacji pojawia się problem. Nie powinno się przekazywać jedynego egzemplarza dokumentu bez kopii zapasowej, zwłaszcza gdy zawiera on ważne dane lub wieloetapowe formuły.

Warszawskie Pogotowie Komputerowe 24/7 może sprawdzić działanie programu arkuszowego, ustawienia systemowe, zgodność pliku z używaną wersją aplikacji oraz przyczyny błędów występujących przy obliczeniach. Przy zgłoszeniu dobrze jest wskazać, czy problem dotyczy jednego pliku, wszystkich dokumentów, konkretnego zakresu czy całej aplikacji. Takie informacje ułatwiają odróżnienie uszkodzenia dokumentu od problemu z konfiguracją środowiska pracy.

Przed przekazaniem pliku można wykonać kilka bezpiecznych czynności: zamknąć inne dokumenty, uruchomić arkusz ponownie, sprawdzić kopię zapasową i odtworzyć prosty przykład z małą macierzą. Jeżeli prosta formuła działa, a problem występuje wyłącznie w dużym dokumencie, przyczyną może być zakres danych, zależności pomiędzy arkuszami albo uszkodzony element pliku. Jeżeli błąd pojawia się nawet w nowym, pustym dokumencie, bardziej prawdopodobna jest kwestia aplikacji lub środowiska systemowego.

ODWROTNOSC jest użytecznym narzędziem do pracy z macierzami, lecz wiarygodny wynik zależy od jakości danych, poprawnego zakresu i kontroli rezultatu. Najbezpieczniej traktować funkcję jako część większego modelu obliczeniowego: najpierw sprawdzić założenia, następnie wykonać obliczenie, a na końcu potwierdzić wynik przez mnożenie i analizę błędu.